非合作博弈论基础 ( 二 ) ¶

混合策略纳什均衡 (page 2-22) ¶

混合策略的引入 (page 3) ¶

纳什均衡（Nash Equilibrium）是分析博弈的强大工具，但并非所有博弈都能找到纯策略纳什均衡。例如，在常见的“石头剪刀布”（Rock-Paper-Scissors）博弈中，无论参与者选择何种纯策略，对手总能找到一个策略来击败他，因此不存在稳定的纯策略均衡。这启发了“混合策略”（Mixed Strategy）的概念，即参与者选择行动时带有随机性，以使自己的行为不可预测，从而达到一个稳定的状态。

混合策略的定义 (page 4-5) ¶

纯策略（Pure Strategy）是混合策略的特例，即只有一个策略的概率为 1，其余策略的概率为 0。

本课程不讨论连续策略空间下的混合策略。

博弈的混合扩展 (page 6-7) ¶

为了分析混合策略下的博弈，我们需要引入博弈的“混合扩展”（Mixed Extension）。

混合策略纳什均衡的定义与等价条件 (page 8-11) ¶

混合策略纳什均衡的定义类似于纯策略纳什均衡。

这意味着在给定其他参与者策略不变的情况下，任何参与人都没有动机通过改变自己的混合策略来增加期望收益。

直接根据上述定义验证一个混合策略向量是否是纳什均衡非常复杂，因为它需要对任意的混合策略 \(\sigma_i\) 进行验证。因此，引入了一个更方便的等价条件。

混合策略纳什均衡计算：最优反应与无差异原则 (page 12-20) ¶

最优反应法和无差异原则是计算混合策略纳什均衡的两种常用方法。

性别大战博弈 (page 12) ¶

考虑“性别大战”博弈：夫妻二人要安排周末活动，可选择看足球赛（F）或听音乐会（C）。丈夫更喜欢足球，妻子更喜欢音乐会。若选择不同，双方都不高兴；若选择相同，双方都高兴，但高兴程度不同。收益矩阵如下（第一个数字是丈夫效用，第二个是妻子效用）：

显然，(F, F) 和 (C, C) 是纯策略纳什均衡。现在我们探讨是否存在非纯策略的混合策略纳什均衡。

最优反应法 (page 13-15) ¶

假设丈夫选择 F 的概率为 \(x\)，C 的概率为 \(1-x\)；妻子选择 F 的概率为 \(y\)，C 的概率为 \(1-y\)。 丈夫的混合策略为 \(\sigma_1 = (x, 1-x)\)，妻子的混合策略为 \(\sigma_2 = (y, 1-y)\)。

• 妻子的期望效用 \(u_2(x,y)\)：
  • 如果丈夫选择 F（概率 \(x\)），妻子选择 F 获得 1，选择 C 获得 0。
  • 如果丈夫选择 C（概率 \(1-x\)），妻子选择 F 获得 0，选择 C 获得 2。
  • \(U_2(x, y) = x \cdot y \cdot 1 + x \cdot (1-y) \cdot 0 + (1-x) \cdot y \cdot 0 + (1-x) \cdot (1-y) \cdot 2 = 3xy - 2x - 2y + 2\)

妻子的最优反应（Best Response） \(br_{2}(x) = \arg\max_{y\in[0,1]}U_{2}(x,y)\) 。我们将 \(x\) 视为定值，对 \(y\) 求导：\(\frac{\partial U_2}{\partial y} = 3x - 2\)

• 如果 \(3x - 2 > 0\)（即 \(x > \frac{2}{3}\)），则 \(U_2\) 关于 \(y\) 递增，妻子会选择 \(y=1\)（选择 F）。
• 如果 \(3x - 2 < 0\)（即 \(x < \frac{2}{3}\)），则 \(U_2\) 关于 \(y\) 递减，妻子会选择 \(y=0\)（选择 C）。
• 如果 \(3x - 2 = 0\)（即 \(x = \frac{2}{3}\)），则 \(U_2\) 与 \(y\) 无关，妻子选择任何 \(y \in\) 都是最优反应。

所以，妻子的最优反应集合为： \(\(br_2(x) := \begin{cases} \{0\} & x \in [0, \frac{2}{3}) \\ [0, 1]& x = \frac{2}{3} \\ \{1\} & x \in (\frac{2}{3}, 1] \end{cases}\)\)

• 丈夫的期望效用 \(u_1(x,y)\)：
  • 同理，丈夫的期望效用
  • \(U_1(x, y) = x \cdot y \cdot 2 + x \cdot (1-y) \cdot 0 + (1-x) \cdot y \cdot 0 + (1-x) \cdot (1-y) \cdot 1 = 3xy - x - y + 1\)

丈夫的最优反应 \(br_1(y)\) 是使 \(U_1(x,y)\) 最大的 \(x\) 值。我们将 \(y\) 视为定值，对 \(x\) 求导：\(\frac{\partial U_1}{\partial x} = 3y - 1\)

• 如果 \(3y - 1 > 0\)（即 \(y > \frac{1}{3}\)），则 \(U_1\) 关于 \(x\) 递增，丈夫会选择 \(x=1\)（选择 F）。
• 如果 \(3y - 1 < 0\)（即 \(y < \frac{1}{3}\)），则 \(U_1\) 关于 \(x\) 递减，丈夫会选择 \(x=0\)（选择 C）。
• 如果 \(3y - 1 = 0\)（即 \(y = \frac{1}{3}\)），则 \(U_1\) 与 \(x\) 无关，丈夫选择任何 \(x \in\) 都是最优反应。

所以，丈夫的最优反应集合为： \(\(br_1(y) := \begin{cases} \{0\} & y \in [0, \frac{1}{3}) \\ [0,1]& y = \frac{1}{3} \\ \{1\} & y \in (\frac{1}{3}, 1] \end{cases}\)\)

纳什均衡点： 纳什均衡是双方最优反应函数的交点。 从最优反应函数的图形（page 15）可以看出，有三个交点：

1. \((x^*, y^*) = (0, 0)\)：对应 (C, C) 纯策略均衡。
2. \((x^*, y^*) = (1, 1)\)：对应 (F, F) 纯策略均衡。
3. \((x^*, y^*) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3})\)：这是混合策略纳什均衡。

无差异原则 (Indifference Principle) (page 16-20) ¶

这意味着，在一个混合策略纳什均衡中，如果某个纯策略被赋予了正的概率（即属于混合策略的“支撑集”），那么该纯策略的期望收益必须与其他所有被赋予正概率的纯策略的期望收益相等。如果一个纯策略的期望收益更高，参与人就会将其选择该策略的概率调整为 1，这与混合策略均衡的定义相悖。

使用无差异原则计算性别大战的混合策略纳什均衡： (page 19) 假设存在一个完全混合的纳什均衡，即 \(0 < x < 1\) 且 \(0 < y < 1\)。 根据无差异原则，在均衡点，丈夫选择 F 和 C 的期望效用必须相等：

\(U_1(F, \sigma_2) = U_1(C, \sigma_2);\) \(2 \cdot y + 0 \cdot (1-y) = 0 \cdot y + 1 \cdot (1-y)\implies y = \frac{1}{3}\)

同理，妻子选择 F 和 C 的期望效用必须相等：

\(U_2(\sigma_1, F) = U_2(\sigma_1, C);\) \(1 \cdot x + 0 \cdot (1-x) = 0 \cdot x + 2 \cdot (1-x) \implies x = \frac{2}{3}\)

因此，混合策略纳什均衡是丈夫选择 F 的概率为 \(\frac{2}{3}\)，C 的概率为 \(\frac{1}{3}\)；妻子选择 F 的概率为 \(\frac{1}{3}\)，C 的概率为 \(\frac{2}{3}\)，即 \((\sigma_1^*, \sigma_2^*) = ((\frac{2}{3}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}))\)。

混合策略纳什均衡的存在性与计算复杂性 (page 21-22) ¶

计算复杂性：

尽管纳什定理保证了混合策略纳什均衡的存在性，但计算它并非易事。根据定义，可以将其转化为线性可行性问题，但求解方式为指数时间。自然的问题是，是否存在多项式时间的通用解法？

完全信息动态博弈 (page 23-47) ¶

引入：蜈蚣博弈 (Centipede Game) (page 24) ¶

蜈蚣博弈是一种典型的完全信息动态博弈。

两个参与人依次行动，总共 100 轮。 - 在奇数轮 \(t=1,3,\dots,99\)，参与人 1 选择停止博弈（S）或继续博弈（C）。若停止，收益为 \((t, t-1)\)。 - 在偶数轮 \(t=2,4,\dots,100\)，参与人 2 选择停止博弈（S）或继续博弈（C）。若停止，收益为 \((t-2, t+1)\)。 - 如果最初 99 轮无人停止，第 100 轮博弈结束，双方收益为 \((101, 100)\)。

博弈树的结构像蜈蚣一样，因此得名。

基本概念：扩展式博弈 (Extensive-Form Game) (page 25-27) ¶

蜈蚣博弈体现了参与人多轮交互的特点，这类博弈被称为扩展式博弈（Extensive-Form Game）。

在扩展式博弈中，每个参与人的策略是一个向量，表示其在所有可能行动的节点上的行动。例如，在蜈蚣博弈中，参与人 1 的策略可能是 (C, C, S, C, ..., S, C)，即使在某个节点选择了停止导致博弈结束，后续节点的策略也需要被定义。

许多博弈不符合这一条件，例如德州扑克或斗地主，玩家不知道其他玩家的手牌。这引入了不完全信息博弈的概念。

子博弈完美均衡 (Subgame Perfect Equilibrium, SPE) (page 30-36) ¶

子博弈完美均衡是动态博弈中一个重要的均衡概念，它对纳什均衡进行了精炼（Refinement）。

均衡精炼（Equilibrium Refinements）：当一个博弈存在不止一个纳什均衡时，子博弈完美均衡作为一种精炼，可以帮助我们选择那些更合理的均衡，并剔除那些基于不可置信威胁的均衡。

逆向归纳法 (Backward Induction) (page 37-40) ¶

逆向归纳法是求解有限完美信息扩展式博弈的子博弈完美均衡的核心方法。

产量领导模型 (Stackelberg Model, 斯塔克尔伯格模型 ) (page 41-47) ¶

产量领导模型（或称斯塔克尔伯格模型）是子博弈完美均衡在经济学中的一个基本应用，用于描述存在一家支配性厂商（领导者）和一家或多家跟随者厂商的市场结构。

模型设定：

• 市场中有两个厂商，厂商 1 是领导者，选择产量 \(y_1\)。
• 厂商 2 是跟随者，观察到 \(y_1\) 后，选择产量 \(y_2\)。
• 市场价格 \(p(Y)\) 取决于总产量 \(Y = y_1 + y_2\)。
• 厂商 1 的成本函数为 \(C_1(y_1)\)，厂商 2 的成本函数为 \(C_2(y_2)\)。
• 厂商 \(i\) 的利润函数为 \(\pi_i(y_1, y_2) = p(y_1+y_2)y_i - C_i(y_i)\)。

求解过程 ( 逆向归纳法 )： (page 43)

这是一个双层优化问题（Bi-level Optimization Problem），其中优化的约束条件是另一个优化问题。

1. 求解跟随者厂商 2 的最优反应函数： 给定领导者厂商 1 的产量 \(y_1\)，厂商 2 将选择使其利润最大化的 \(y_2\)。 \(\max_{y_2} \pi_2(y_1, y_2) = p(y_1 + y_2) y_2 - C_2(y_2)\) 解得 \(y_2 = f_2(y_1)\)。
2. 求解领导者厂商 1 的最优产量： 厂商 1 知道厂商 2 会根据自己的产量做出最优反应，因此厂商 1 会在考虑厂商 2 的反应函数后，选择使其利润最大化的 \(y_1\)。 \(\max_{y_1} \pi_1(y_1, f_2(y_1)) = p(y_1 + f_2(y_1)) y_1 - C_1(y_1)\) 解得最优产量 \(y_1^*\)。
3. 确定跟随者厂商 2 的最优产量： 将 \(y_1^*\) 代入 \(f_2(y_1)\)，得到 \(y_2^* = f_2(y_1^*)\)。 \((y_1^*, y_2^*)\) 构成了斯塔克尔伯格博弈的子博弈完美均衡产量。

不完全信息博弈 (page 48-73) ¶

引入：行业博弈的例子 (page 49-51) ¶

现实中的博弈通常是不完全信息的，例如德州扑克中玩家不知道对手的手牌，或者厂商竞争中不知道对方的真实成本和实力。这类情况需要引入不完全信息博弈（Game with Incomplete Information）来描述。

行业博弈均衡计算 (page 52-57) ¶

1. 检查劣策略： (page 52)

• 当参与人 1 成本高时：
  • 建厂：如果 2 进入，1 收益 0；如果 2 不进入，1 收益 2。
  • 不建厂：如果 2 进入，1 收益 2；如果 2 不进入，1 收益 3。 无论参与人 2 如何选择，“不建厂”的收益总是优于“建厂”的收益。因此，“建厂”是劣策略。高成本的参与人 1 的均衡策略是不建厂。
• 当参与人 1 成本低时：
  • 建厂：如果 2 进入，1 收益 3；如果 2 不进入，1 收益 5。
  • 不建厂：如果 2 进入，1 收益 2；如果 2 不进入，1 收益 3。 无论参与人 2 如何选择，“建厂”的收益总是优于“不建厂”的收益。因此，“不建厂”是劣策略。低成本的参与人 1 的均衡策略是建厂。

2. 参与人 2 的期望效用： (page 53)

参与人 2 知道参与人 1 在高成本时会选择不建厂，在低成本时会选择建厂。

• 如果参与人 2 选择“进入”：
  • 当参与人 1 成本高（概率 \(p\)）时，1 不建厂，2 收益 1。
  • 当参与人 1 成本低（概率 \(1-p\)）时，1 建厂，2 收益 -1。 参与人 2 期望效用：\(p \cdot 1 + (1-p) \cdot (-1) = p - 1 + p = 2p - 1\)。
• 如果参与人 2 选择“不进入”：
  • 当参与人 1 成本高（概率 \(p\)）时，1 不建厂，2 收益 0。
  • 当参与人 1 成本低（概率 \(1-p\)）时，1 建厂，2 收益 0。 参与人 2 期望效用：\(p \cdot 0 + (1-p) \cdot 0 = 0\)。

3. 参与人 2 的最优选择：

• 如果 \(2p - 1 > 0 \implies p > 1/2\)，参与人 2 选择“进入”优于“不进入”。
• 如果 \(2p - 1 < 0 \implies p < 1/2\)，参与人 2 选择“不进入”优于“进入”。
• 如果 \(2p - 1 = 0 \implies p = 1/2\)，参与人 2 对“进入”和“不进入”无差异。

总结该博弈的均衡： (page 54)

• 高成本的参与人 1 永远选择占优策略“不建厂”。
• 当 \(p > 1/2\) 时： 低成本的参与人 1 选择“建厂”，参与人 2 选择“进入”。
• 当 \(p < 1/2\) 时： 低成本的参与人 1 选择“建厂”，参与人 2 选择“不进入”。
• 当 \(p = 1/2\) 时： 此时存在混合策略均衡。
  • 低成本的参与人 1 选择建厂。
  • 参与人 2 对进入和不进入无差异，可以任意混合。

参与人 1 建厂成本高 ( 成本 3) 时：

参与人 1 建厂成本低 ( 成本 1.5) 时：（1 在低成本时无占优策略，需要无差异原则）**

使用无差异原则求解混合策略均衡：

设参与人 1 低成本时建厂概率为 \(x\)，参与人 2 进入概率为 \(y\)。

1. 参与人 1 低成本时无差异： (page 56)

在均衡时，低成本的参与人 1 选择“建厂”和“不建厂”的期望效用相等：

因此，当低成本的参与人 1 混合策略时，参与人 2 必须以 \(1/2\) 的概率选择“进入”，以使参与人 1 对其纯策略无差异。

2. 参与人 2 无差异：

参与人 2 知道高成本的参与人 1 选择不建厂。 当 \(p=1/2\) 时，参与人 2 处于无差异状态，可以混合。 参与人 2 选择“进入”的期望效用等于“不进入”的期望效用。

• \(U_2(\text{进入}) = p \cdot U_2(\text{进入}|\text{高成本}) + (1-p) \cdot U_2(\text{进入}|\text{低成本})\)
• \(U_2(\text{不进入}) = p \cdot U_2(\text{不进入}|\text{高成本}) + (1-p) \cdot U_2(\text{不进入}|\text{低成本})\)

设 \(x\) 是低成本参与人 1 建厂的概率。 - \(U_2(\text{进入}) = p \cdot 1 + (1-p) \cdot (-x \cdot 1 + (1-x) \cdot 1) = p + (1-p)(1-2x)\) - \(U_2(\text{不进入}) = p \cdot 0 + (1-p) \cdot (x \cdot 0 + (1-x) \cdot 0) = 0\)

令 \(U_2(\text{进入}) = U_2(\text{不进入})\)：

总结均衡：

• 高成本参与人 1 永远选择“不建厂”。
• 当 \(y=1/2\) ( 即参与人 2 以 \(1/2\) 概率进入 ) 且 \(x = \frac{1}{2(1-p)}\) ( 低成本参与人 1 建厂概率 ) 时，存在混合策略均衡。
  • 如果 \(p \le 1/2\)，则 \(1-p \ge 1/2\)，那么 \(2(1-p) \ge 1\)，所以 \(x = \frac{1}{2(1-p)} \le 1\)。
  • 如果 \(p > 1/2\)，则 \(1-p < 1/2\)，那么 \(2(1-p) < 1\)，所以 \(x = \frac{1}{2(1-p)} > 1\)，这不符合概率的定义。因此，此混合策略均衡仅在 \(p \le 1/2\) 时有效。

最终均衡结果： (page 57)

• 高成本的参与人 1 永远选择“不建厂”。
• 当 \(p \le 1/2\) 时：
  • 低成本的参与人 1 以 \(x = \frac{1}{2(1-p)}\) 概率选择“建厂”。
  • 参与人 2 以 \(y=1/2\) 概率选择“进入”。
• 当 \(p > 1/2\) 时：
  • 低成本的参与人 1 选择“建厂”。
  • 参与人 2 选择“进入”。

不完全信息博弈的定义 (page 58-62) ¶

从行业博弈的例子出发，不完全信息博弈的正式定义在策略型博弈的基础上进行了扩展。

不完全信息博弈的均衡：贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium) (page 59-65) ¶

在不完全信息博弈中，参与人在做决策时，并不知道其他参与人的具体类型，因此他们基于对其他参与人类型的后验概率分布（Posterior Probability Distribution）来最大化自己的期望收益。

这意味着，在给定自己的类型和所有其他参与人策略的情况下（所以也许也可以写作 \(U_i(\sigma^*|t_i) \ge U_i(s_i, \sigma_{-i}^*|t_i)\)），每个参与人都没有动机通过改变自己的策略来增加期望收益。这个定义与混合策略纳什均衡的等价条件非常相似，只是在期望收益的计算中增加了对不确定类型变量的期望。

不完全信息博弈的三个阶段 (page 66-69) ¶

一个不完全信息博弈的进行顺序可以分为三个阶段：

1. 自然阶段 (Nature)：自然根据先验概率分布 \(p\) 抽取类型向量 \(t = (t_1, \dots, t_n)\)，并将每个参与人 \(i\) 的类型 \(t_i\) 告知给参与人 \(i\)。每个参与人知道自己的类型，但不知道其他参与人的具体类型 \(t_{-i}\)。
2. 事中阶段 (Interim)：参与人 \(i\) 知道自己的类型 \(t_i\) 后，会更新信息，对其他参与人类型的分布更新为 \(p(t_{-i}|t_i)\)。然后所有参与人同时选择自己的行动 \(s_i\)。
3. 事后阶段 (Ex Post)：博弈结束后，每个参与人 \(i\) 得到收益 \(u_i(t; s)\)，其中 \(s = (s_1, \dots, s_n)\) 是所有参与人的纯策略组合，而 \(t = (t_1, \dots, t_n)\) 是所有参与人的类型组合。

不完全信息古诺竞争 (page 70-73) ¶

前面的行业博弈中，参与人类型空间和行动空间都是离散的。这里讨论一个类型空间离散但行动空间连续的例子，即不完全信息下的古诺竞争。

模型设定：

• 古诺竞争：两个寡头同时决定产量。
• 厂商 \(i\) 的利润函数为 \(\pi_i = q_i(\theta_i - q_i - q_j)\)，其中 \(\theta_i\) 是线性需求函数的截距与厂商 \(i\) 单位成本之差，\(q_i\) 是厂商 \(i\) 的产量。
• 不完全信息点：厂商 1 的类型 \(\theta_1 = 1\) 是共同知识。
  • 但厂商 2 的类型是私人信息。厂商 1 认为 \(\theta_2 = 3/4\)（高成本）和 \(\theta_2 = 5/4\)（低成本）的概率均为 \(1/2\)。先验分布是共同知识。

目标：求解博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡。

1. 求解厂商 2 的最优产量 \(q_2(\theta_2)\)： (page 71)

• 厂商 2 的利润函数：\(\pi_2 = q_2(\theta_2 - q_1 - q_2)\)。

  • 厂商 2 利润最大化：\(\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = \theta_2 - q_1 - 2q_2 = 0 \implies q_2(\theta_2) = \frac{\theta_2 - q_1}{2}\)

• 当 \(\theta_2 = 3/4\)（高成本）时，厂商 2 的最优产量：\(q_2^H = \frac{3/4 - q_1}{2}\)。

• 当 \(\theta_2 = 5/4\)（低成本）时，厂商 2 的最优产量：\(q_2^L = \frac{5/4 - q_1}{2}\)。

2. 求解厂商 1 的最优产量 \(q_1\)： (page 72)

厂商 1 不知道厂商 2 的类型，因此其收益是针对厂商 2 两种类型的期望收益。

• 厂商 1 利润：\(\pi_1 = q_1(\theta_1 - q_1 - q_2(\theta_2)) \implies q_{1}=\frac{\theta_{1}-E[q_{2}]}{2}\)

代入 \(\theta_1=1, \theta_2^H=3/4, \theta_2^L=5/4\)，联立得 \(q_1 = \frac{1}{3}\)。

然后回代计算 \(q_2^H\) 和 \(q_2^L\)：

• \(q_2^{H*} = \frac{3/4 - q_1^*}{2} = \frac{3/4 - 1/3}{2} = \frac{9/12 - 4/12}{2} = \frac{5/12}{2} = \frac{5}{24}\)
• \(q_2^{L*} = \frac{5/4 - q_1^*}{2} = \frac{5/4 - 1/3}{2} = \frac{15/12 - 4/12}{2} = \frac{11/12}{2} = \frac{11}{24}\)

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